薄い数学の本をたくさん読む

薄めで簡単な数学の教科書を読むのは割と近道であるように感じる。

超弦理論の研究

超弦理論を理解するには、物理をやるよりも数学をやる方が近道な気がする。物理の教科書は書き方がひどいものが多い。前提があって、そこから論理的推論があって、結論がでて、それが、現実の現象とあっている。という構造になっている事が多いが、前提のところを無理に導出しようとしている事が多い。たとえば、量子力学では、小さい粒子は波の性質をもつので、ある種の波動方程式を置くのが自然であろうという記述があるのだが、そこがあいまいすぎる。何故そのかたちにならなければならないかがあまりはっきりとしない。実験結果を無理やり既知の現象で解釈しようとして、そこからさも自然に仮定の部分が導出されたかのように記述する。
前提、論理的推論、結論の部分をはっきりと書いてほしい。

数理物理学の論文サイトを発見

数理物理にはやはり憧れる。superstringで検索しただけで１０００件以上ヒットする。素粒子で食う気はないけど、たぶん自分には一生手の届かない領域なんだろうなと思うとさびしいものがある。いづれにせよこの分野はずっとゆるやかな興味を持ち続ける気がする。

astro-ph

astro-phで英語の論文を読んでる。天文は読むだけで内容が分かるからありがたい。英語の勉強にもなる。もはやどこにいてても、ネットがつながる限り、天文の最先端の内容が分かるのは面白い。
地球惑星分野は結構文系的で読みやすいな。宇宙論とかは基礎理論が分からないと読む意味は全くなさそう。

そろそろ脳科学に対する考察に決着をつけようか

原子論を仮定すると全ての人文科学の主張を全て反論可能なことが分かる。

古典力学で、全ての粒子の初期位置と運動量が分かれば、すべての時間における、粒子の位置と運動量がわかるという法則がある。これは、時間に関して状況が変化するとう物事において最も根本的な法則であるといえる。
法律を作ることやそれを適用することも、時間発展にともない全ての粒子が動いた結果としての巨視的な現象として起こる。原因＞結果のながれで物事をかたるには、原子まで立ち戻る必要があるから、それよりも大きな現象は論理的には正しくないといえる。つまり巨視的な現象における主張はより小さな階層の主張まで立ち返ればすぐにあなだらけであることが見える。
 また、上記のような原子の法則も、微分方程式の解がある条件下では、一意に定まる当理論の一部に過ぎない。

スルツキー方程式 経済学と統計熱力学

ミクロ経済学の分野のスルツキ―方程式の勉強をやった。
変数が多くてややこしいが、効用関数、予算制約、しか条件がないので、丁寧に裁いていけばなんとかなる。
現実に起きうる状況として、効用関数の最大化条件を仮定する。その条件の下での、効用、予算、商品の需要個数、商品の価格などの関係（一つの要素が、他の要素のどのような関数になるか）を定量的に計算していくことになる。
 さらに、生産者側においても賃金、労働力、生産量、商品の価格などの関係を定式化する。
そのうえで需要供給曲線を考え、生産量と、需要が一致するという条件を仮定し、労働力 、生産量、賃金のとの関係を求めていく。

人間を商品として扱って、賃金や労働力を、商品の価値や需要供給の理論とまったく同じモデルを人間に対して行うことが出来るだろうか？

人間とモノの違い：生産力を提供できるかどうか？

では、ロボットの生産量が増え、ロボットが企業の生産に大きな影響を与えるようになった場合、経済学はどう変わるか？
ロボットでなくても企業向け製品の需要や供給をどのように、上記の体系にくみこんでぎろんできるか？ミクロ経済学を積み上げることでマクロ経済学をかたることができるか？
生産者、消費者、需要、供給を見だす主体のの総和として、 市場、企業、政府、外国等を議論できるか？
物理の統計力学と熱力学の関係と、経済学のミクロ経済学やマクロ経済学に類似性はあるか？

物理の統計力学においては、量子力学に基づいた、離散的なエネルギーの各粒子への分配に基づく等重率を前提にして、様々な物理量を定義してやると、熱力学の法則ででてくる関係式と全く同じ関係式を導き出すことが出来た。
統計熱力学ではミクロとマクロの関係式では同じ物理量が出てくる。マクロでは、法則や経験則として、与えられてい物を、ミクロの理論を前提として、マクロでの法則を結論として導き出すことが出来た。
ここでは、数学的には、さまざまな量を定義して、場合の数の計算をして、その間の関係式を導いたに過ぎない。統計熱力学の関係として、量子力学が正しいこと、古典力学が正しいことが仮定されている。 粒子が離散的なエネルギーを持つこと、熱エネルギーと力学的エネルギーが同じものであることが仮定されている。

ここで、経済学に立ち戻ってみる。
ミクロとマクロで同じ量を定義できるか？
企業の総生産量や市場の大きさなどだろうか？

ミクロの議論で重要な部分がマクロとかかわらないように思う。ミクロで定義される量の間の関係というのは、マクロとは違う。熱物理では、ミクロの関係はそのままマクロの関係になる。
つまり熱物理ではマクロでつかう量の間の関係を、ミクロで議論する。
経済学では、ミクロで議論されるのはミクロで使う量の関係だけである。
骨組みだけ考えると、物理も経済学も５～１０個程度の量を定義し、それらの間の関係を計算しているにすぎない。
ミクロとマクロは便宜的に分けられているだけどとくに重要ではない。そして、定義された量の間の関係問うのは、熱物理と経済学では全く違う。
物理や経済学やミクロマクロという言葉を除外して数学的構造をみると、別の二つの体系を扱っているにすぎない。

一日で読めるんとちゃう

昔、塾の先生から勧められて、「抽象代数への入門」(200ページ弱)
を読もうとしたことがあった。超優秀な先輩が「一日で読めるんとちゃう」とのたまった。さっそく図書館に行って挑戦してみたが、数ページしか進まなかったorz
その後しばらく少しやさしめの物理学書などで「一日で読めるんとちゃう」シリーズをやってみたが、ことごとく挫折した。そして、そのことはしばらく尾を引いていた。
 　それに、こんどこそ決着をつける。近いうちに再挑戦してみるつもりだ。

超電導状態

円電流が超電導体に入っても表面に磁場が入っているので問題ない。

チャカロフ関数

チャカロフ関数が無理数であることの証明。

無限級数に、多項式をかけて、足して、次数の低い項を削る。

合成関数の微分法

d(x^3)^2/dx=2(x^3)×d(x^3)/dx
などを考えてみるとよい。

平方剰余の相互法則

平方剰余の相互法則をいい加減マスターしてしまいたい。

個体化学

個体化学の教科書を読む。数学的にあまり詰まることなく、お話として読めるので気軽に読めて楽しい。逆にいえば本からは全く中身が分からないので、無意味な事をしてるとは言えるが、息抜きや、興味をふくらますには良いだろう。
たまには定性的な本も馬鹿にせずに読んでみる者である。

整数論進捗状況

例によって、あまり進んでいない。教科書をちびちび読んで、ダラダラ計算しただけだった。
面白くない遊びが多いのでそれらをカットしたいところだ。少し禁欲的にいく。

マクロ経済学

友人が経済学部への編入を目指しているので、
過去問を解いてみた。いわゆるマクロ経済学。
経済を巨視的な視点で見た学問らしい。例えば一つの国
単位での主体を考え、その間での、財、サービスの貨幣の
流れを考える。
一方ミクロ経済学では、個人や各商品レベルでの経済モデルを扱う。
ミクロ経済学とマクロ経済学の関係は、物理における
統計力学と熱力学の関係に似ているだろうか。
統計力学では、量子力学でのとびとびのエネルギーが書く粒子に分配される分配のされ方に関する自明な数学的考察から、さまざまな法則が導かれる。量子力学を所与のものとして考えれば、そこからは簡単な組み合わせ論の議論に過ぎない。そこでは熱力学でおなじみの物理量が定義され、その間に成り立つ関係式の説明がなされる。エントロピー増大の法則は、等重率からごく当たり前の内容として導かれる。経済学の内容に戻ろう。政府、民間消費、投資、企業全体、貿易などの、マクロな単位での、財と貨幣の流れは、個人、個々の商品といったミクロな財貨幣の流れの総和として表すことが出来る。どちらの場合も各主体を点、その間の流れを流量とすれば、流体力学や、熱伝導でおなじみの、方程式がたてられそうである。離散的な点を考えればよいので、コンピュータで計算したりしてシミュレーションが出来そうである。
各点が物理量を持ち、その点の間で相互作用をして、相互作用の時間積分によって各点の物理量が変わるという点において、物理と経済は共通している。それは当然である。計算や理論展開としては、 単純化された数学モデルを考えているわけだから。現実の減少の近似として、理想化された数学モデルを考える。いったんモデルとしての理論体系が出来ると、それが近似として成り立つ対象であれば、物理であれ、経済であれ、（文学であれ、ネットワークであれ）あてはめてそれぞれの現象をうまく説明することが出来るだろう。

なんとか数学への興味を維持できるようにはなった

なんとか数学への興味は維持できるようになった。こッからペースを上げていく必要がある。
本職の奴らが１０進む間に、こちらは1も進めていないので、なんとか２０くらいまで上げる必要がある。
 理解をするスピードが衰えている。深くまで考えに集中する能力は衰えている。

だが、反面いつでもどこでもだらだらと数学や物理の内容を頭の中で転がすことはできるようになった。
数時間単位でフルスピードのしゅうちゅうをすることがなかなかできないので何とかしたい。

計算用紙百枚消費/日はほど遠い

ブログを書く量が増えている。
計算用紙は日に数枚は消費するようになったが、百枚単位にはほど遠い。だが、少しずつ積極的に疑問に思ったことをペンをとって書いてみる習慣がついてきたように思う。
ブログ作戦は成功しつつある。
小学校の頃に、塾で簡単な計算問題を大量にやって、ノートもすかすかに書いてページ数の水増しをやったことがある。見事その作戦が的中、先生はページ―数をほめたたえ、私は、そのクラスで絶対的な地位を築くきっかけをつくることができた。今となっては滑稽だが、そういった政治的パーフォーマンが、結果的に自分の取り巻く環境を良くし、本質的な力を伸ばすことが出来た気がする。
姑息な手を要領よく使うことが、自らの実力を伸ばしやすい環境を得るためにうまく働き、蓄えた実力と成果から生まれる余裕が他者に対する誠実さをもたらすことはよく割ることだ。近視眼的な、正義感では一歩も前に進むことができないだろう。圧倒的な能力の上に立って、初めて、現実的に他者に対して誠実な行動が出来るのだ。だから、徹底して他人を踏み台にしても、自分の環境を良くすること、能力を上げることを優先する。自分は特に、人の為になにかをしたいとは微塵も思わないが、自己中心的に自分の能力を突き詰めるた結果いつのまにか他人の為なにかが出来うる力を手に入れるということはあり得るだろう。そして、その力が生活をするための糧になることもあるだろう。私は、能力が１あってそれを全て他人の為に使う人間であるよりも、能力が100あってそのうち98を自分の為に使い、残り2を他人の為に使う人間の方が好きだ。
能力がなきゃダメだ。能力と結果が伴わなければ、全て嘘になる。

相対論、固体化学

久しぶりに、相対論と固体化学の教科書を読んだ。数学に比べると驚くほどサクサク読める。数学が、物理や化学を包含するというのがよくわかる。というか化学の教科書の場合、数式が天下り的にあたえられ、その結果がこういう意味があるよ～ということが書かれているだけなので、読者としては、ふーんそんなもんかとしか言いようがなる、本質的な構造の理解は得られない。つまりどういった数学的にどういう構造になっているかがあまりはっきりかかれていない。例えばなしでしかない。電子の運動量や電流がどういった意味で存在しているのかはあやしい。ある種の条件の下で、極めて単純化された幾何学モデル、微分方程式の関係が、物理の原理がから導き出されることが主張されている。例えば、マックスウェルの方程式やシュレディンガー方程式という、微分方程式が有無を言わさずなりつつことにされて、そこから、単純化したモデルの場合に、式を当てはめ、 得られた結果に対してある解釈が出来ると主張している。

試験を受けることで学力を上げる

数学を勉強する上で、試験を受けることがかなり効果が高かった。擬似的に試験を受けるのと同様の状態を作り出せないだろうか？学部の頃に試験メインの数学系の科目をもっと受けたかった。
 少し難し目の問題をノーヒントで考える。
既知の理論を詰まらずにアウトプットする。レポートや
口頭発表の練習。
そこで、ひらめき、や穴うめの練習が出来るとよいだろう。
長期的なスパンで研究者としての能力を上げる。
具体的にはひらめき能力をあげる。一つのテーマを数カ月から数年のテーマでとりくむ。
自分になりに数年単位で考えている問題はたくさんあるが、それをもっと組織的にやっていく。

数論の勉強

塩川くんの数論の本を読んでいるが、退屈で死にそうだった。
自分で手を動かそうにも、わからなくて速攻で積む。
一つの定理の証明を丸暗記して、教科書を見ずに何度も
再生するということをやってみて、一日目は少し楽しめたが、すぐに飽きてしまった。
久しぶりに物理（宇宙論）の講義ノートを読んでみたが、
やはり物理はわくわくする。だが、わくわくするのは勉強始めてしばらくだけで、本当に知りたかったことはなに
もみにつかないまま、
対して難しくも感動もしなさそうだが、ただ計算を追うのがめんどくさいという orzな状況になる。物理は概念を理解するのが一番楽しい気がする。数学的にも、具体的な計算をするのも極めて詰まらないように思う。この点に関して言えば、数学の方が圧倒的に良心的だし、内容も豊かだ。本当に面白い部分、本質的な部分だけでみれば、数学は物理を包含する。もちろんプロとして食っていくのには物理も時間をかけていろいろな計算をしていく必要があり、困難なのは間違いない。それに、大学で物理をやるとなると、理論系で会っても、コンピュータ作業や、対人関係の割かれるエネルギーが圧倒的に増えるので、わりと不毛な生活を強いられる。実験系や化学系は論外。。
文系就職した方がまだ得る者がおおいのではないか、、
あるいは、アクチュアリーや予備校講師の方がよほど、文化的に高度な生活が送れるような気がする。
話はそれたが、今後のたいさくとして、　数論から離れて他の数学のジャンルに触れてみようと思う。
あるいは、数学オリンピックのような比較的簡単な問題を
とくことをさいかいしてもいいかも。ただ、こちらの方もモチベーションが下がっている。。
関数論と、幾何、位相あたりを勉強してみるか。。
代数系の分野に進む予定だが、飽きている状態
でどうにかしようとしても限界がある。

数論の勉強

塩川宇賢の本が分かりやすく具体例も多いので、いい本のように思う。図書館での期限が切れたので、本屋で購入。さっそく読み込みを開始する。
各章が比較的独立しているので、同時並行に勉強する。
このレベルの本だと、詰将棋で言う一手詰めレベルの証明や理論展開が沢山出てくるので、興味のある部分を頭の中で再構築できるようになるまで反復学習をしようと思う。基本的にこの本の丸暗記を目指す。
そのなかで、自分のアイデアとかを出せるかどうを雅くしていきたい。
道のりは遠いが、できる限りのことをやっていきたい。

数学の勉強方針

教科書で同じところの式展開を何度も繰り返し読んで、
教科書を見なくても自軍で再現できるようにする。
それを、完璧に素早くできるようになるまで何度も練習する。
一般化とか他の応用もできるならやっていく。
まだ基礎が身についていないのでしばらくは勉強に
あてるしかないかもしれない。